JULIUS PETERSEN (1839 - 1910)
- Matematikeren og Mennesket


af Bjarne Toft, Institut for Matematik og Datalogi, Odense Universitet.

Indhold

En 100 år gammel artikel - glemt og genopdaget


For 100 år siden, i efteråret 1891, udkom der i tidsskriftet Acta Matematica (grundlagt af den svenske matematiker Mittag-Lefler 1882) en artikel Die Theorie der regulären graphs skrevet af professor i matematik ved Københavns Universitet, Julius Petersen. Den blev bemærket ude i den store verden af tidens største matematikere, bl.a. Caley og Sylvester i England, og Klein og Hilbert i Tyskland. Men den blev også betragtet som hørende til en uddøende matematisk disciplin, invariantteori, og den gik snart i glemmebogen. Petersen døde i 1910, og derefter fortabte han og hans indsats sig snart i fortidens mørke; hans 100 års fødselsdag i 1939 blev ikke markeret, og i 1947 blev hans grav på Vestre Kirkegård i København sløjfet.

Ny berømmelse


Men i dag er Petersen verdensberømt igen. Ikke kendt af en bred offentlighed, men af matematikere overalt. Artiklen fra 1891 betragtes nu som den første grundlæggende artikel indenfor området grafteori, som vi kender det i dag. Én af Petersens opdagelser, Petersens graf, pryder forsiden af hvert nummer af det amerikanske tidsskrift Journal of Graph Theory. Den nye berømmelse hænger bl.a. sammen med udviklingen indenfor teoretisk datalogi. 1891-artiklen er langt fra det eneste eksempel på Julius Petersens manglende gennemslagskraft i hans egen samtid. Hans arbejder var af varierende kvalitet, fra det fejlagtige til det fremragende, og det kunne nok være svært at skelne. I dag anerkendes Julius Petersen imidlertid som en pionér, forud for sin tid, ikke blot indenfor matematiske discipliner som grafteori, geometri og kodningsteori, men også indenfor økonomi og socialvidenskab, og som popularisator og lærebogsforfatter.

Mennesket Julius Petersen


Vi ved ikke meget om mennesket Julius Petersen. Der findes tilsyneladende ingen familie-breve bevaret. Men gennem hans professionelle virke, og gennem nekrologer og andre omtaler, kan vi danne os et billede af en bramfri, men elskværdig personlighed. I Nyt Tidskrift for Matematik skrev redaktionen efter hans død i 1910: Ét ypperligt Hoved, en original Tænker, en Mester i Fremstillingens Kunst, altid i godt Humør, aldrig smaatskaaren i sin Dom, parat til at bryde en Lanse med hvemsomhelst i usvigelig sikker Tro paa egne Ræsonnementers Uangribelighed, slagfærdig og sprudlende i Debatten, uden Nag eller Bitterhed overfor sine Modstandere, en stort anlagt og usnobbet Natur, lidet akademisk i sin Optræden, undertiden noget usleben i sit Væsen.
Den senere professor ved Polyteknisk Læreanstalt Johannes Mollerup skrev i Berlingske Tidende den 5. august 1910 en nekrolog, hvori det bl.a. hedder: Han repræsenterede blandt de danske Matematikere i en lang Aarrække det bedste Humør og den frodigste Livsglæde. Struttende sund fyldte han sin Plads i Livet, baade i sit Arbejde og i festlige Lag, djerv og godmodig var hans Skemt; man glædede sig, naar hans prægtige Skikkelse med det smukke kloge Hoved viste sig.

Matematikeren Julius Petersen


Petersens publikationsliste er et vidnesbyrd om en overmåde flittig mand, der med stor energi arbejdede på problemer fra de forskelligste områder. Hans arbejder dækker et meget bredt spektrum af matematik, fra geometri og talteori, over matematikkens grundlag, grafteori, kodningsteori, algebra og funktionsteori, til mekanik og matematisk fysik. Han var også kendt som konstruktør af matematiske modeller og som opfinder af et planimeter. Petersen var problem-løser mere end teori-bygger. Han arbejdede med en Ting, saalænge den interesserede ham, dvs. saalænge til han mente at have forstaaet det Centrale derved. Tit blev han ikke længe nok indenfor det samme felt til at frembringe de store varige fremskridt - undtagelsen par excellence er grafteorien.
Petersen var de gode idéers mand - hans ansigt skinnede af glæde når han udbrød : "Nu har jeg det!". Men han kunne selv blive vildledt af en god idé ved at udstrække den til mere end godt var. Han bekymrede sig kun lidt om vanskelige undtagelsestilfælde, og hans elegante ræsonnementer er derfor af og til ufuldstændige, eller i værste fald forkerte!
Af princip læste Petersen ikke meget - han ville ikke have sin selvstændighed og tankegang ødelagt af det andre havde tænkt før ham! Havde han brug for andres resultater, læste han kun så langt, at han kunne se idéen. Jeg begyndte at læse det hos Sérret, men der fyldte det 8 Sider, saa vilde jeg hellere lave det selv. At Petersen således ofte startede på bar bund i sine arbejder, og at han altid stræbte efter størst mulig klarhed og elegance, medførte en usædvanlig originalitet. Men det gav også anledning til vanskeligheder, bl.a. i de ikke få tilfælde, hvor Petersens "nye" resultater viste sig at være velkendte.
Petersen havde stor glæde af sine mange internationale kontakter, men deltagelse i internationale begivenheder, f.eks. verdenskongressen i Paris i 1900, interesserede ham tilsyneladende ikke. Hans professorkollega Zeuthen i København var én af Paris kongressens vicepræsidenter - Hilbert holdt dér sin berømte forelæsning om matematikkens fremtidige problemer - der var nok, som burde have trukket Petersen med. Spildte han i virkeligheden sine rige matematiske evner ? Svært at sige, for som Zeuthen fremhævede i 1910 i sin mindetale i Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, så ved man jo aldrig, hvor godt en Mands Evner havde slaaet til, hvis han havde arbejdet paa en anden Maade, end det faldt ham naturligt.

Jul. Petersens System


Navnet Jul. Petersen forekommer måske også læsere uden speciel matematik-interesse bekendt? Det kan skyldes, at han skrev mange bøger, ikke blot for de højere uddannelser på Universitetet og Polyteknisk Læreanstalt, men også for skolen. Der var paa Bunden af ham en mandig Friskhed, der ogsaa er velgørende i hans Skrifter. Og Danske vil særlig vide at sætte Pris derpaa, thi han var en Mester i vort Sprog, skrev Nyt Tidsskrift for Matematik i 1910, og det er så sandt som det er sagt: hans artikler og bøger kan stadig læses med den største fornøjelse. Hans lærebogssystem, startet i 1858 og udgivet indtil 1965, er nogle af de danske skolebøger, som har haft størst succes nogensinde: først ved reformen midt i 1960'erne (hvor mellemskolen og realeksamen afskaffedes og "den nye matematik" indførtes) gled Jul. Petersens system helt ud af brug. En nekrolog i Politiken den 6. august 1910 har følgende malende omtale af bøgerne: Adskillige af de smaa Lærebøger benyttes rundt paa hele Kloden, og det er i højeste Grad sandsynligt, at der stadig sidder smaa Skoledrenge af den ene eller anden Kulør (hvide, gule, sorte osv.) og grubler over et eller andet "man ser let". Thi den udmærkede Matematikers egen hurtige Hjerne og hans ønske: at gøre Bøgerne saa korte og koncise som muligt, har ikke sjældent forledt ham til at springe nogle formentlig ganske selvfølgelige Mellemled over, netop med den citerede Bemærkning "man ser let"; for alle de smaa, grublende Drenge under de vekslende Breddegrader maa det være en Trøst, at naar de ikke altid straks kan "se let", deler de Skæbne med disse famøse Ords egen Ophavsmand, thi det hændte virkelig ved en Forelæsning over Ligningers Teori, at Jul. Petersen ikke selv kunde opdage, hvad det var, man let saa.

Skolegang og vinkel-tredeling


Julius, søn af farvermester Petersen i Sorø, viste sig allerede som barn at være et ualmindeligt godt hovede, og 10 år gammel kom han på Sorø Akademis Skole og Opdragelsesanstalt. Om sin skolegang fortæller han selv i 1871: Efter at være forberedt i en Privatskole, kom jeg i 1849 i Byens lærde Skole, som jeg gjennemgik som Realist til min Konfirmation. Jeg ønskede at blive Polytekniker, men denne vej var for dyr for mine Forældre. En Onkel til mig var Kjøbmand i Kolding og tilbød at tage mig i sin Forretning et par Aar og derpaa skaffe mig Plads paa et Handelskontor. Han døde imidlertid, da jeg havde været hos ham næsten et Aar, og testamenterede mig 1000 Rd. Jeg opgav derpaa Handelen og vendte tilbage til Sorø Skole, hvor jeg 1856 tog Realafgangsexamen med Udmærkelse. Mathematikken havde, fra jeg begyndte at lære den, optaget min hele Interesse, og den største del af mit Arbeide bestod i at løse mine egne og mine Kammeraters Opgaver og i at søge Vinklens Tredeling, en Opgave, der har havt en stor Indflydelse paa min hele Udvikling.
Én af kammeraterne, som også var født i 1839 og som boede fire huse længere nede ad gaden, var Hieronymus Georg Zeuthen. Det er tankevækkende, at disse to kammerater fra Sorø senere blev de to professorer i matematik ved Universitetet. Sammen dominerede de dansk matematik fra 1870 til 1910 og gjorde den international. Zeuthens arbejder indenfor algebraisk geometri og matematikkens historie var, vedblev at være, og er stadig berømte. Han var fast forankret i kristentroen, og han besejrede alle med sine åndfulde foredrag, sin nobelhed og stilfulde akademiske fornemhed. Petersen derimod var den muntre rebel med vittighederne hængende løst i ærmet. Hvor forskellige de end var, forblev de nære venner hele livet.
En lillebror til Julius, Valdemar Petersen, blev en betydende mand i Odense, idet han her startede den handelsskole, som senere udviklede sig til Tietgenskolen. Han var æresmedlem af Odense Handelstandsforening (hans portræt hænger stadig i Industri- og Handelskammerets mødelokale) og sit hus på Langelinie 31 testamenterede han til et legat for handelsskoleelever. Han døde i 1935 og hans gravsted var til 1996 bevaret på Assistenskirkegården i Odense.

Metoder og teorier - en international succes


Efter realeksamen i 1856 tog Julius Petersen så til København og tog første del af polyteknisk eksamen i 1860. Men undervejs fik han lyst til at studere matematik, blev student i 1862, gift samme sommer og fik sit første barn i januar 1863. Som 27 årig i 1866 blev han magister med udmærkelse. ret efter fik han Universitetets guldmedalje for en afhandling om flydende legemers ligevægt. I 1866 kom hans tredie bog, Methoder og Theorier til Løsning af Geometriske Konstruktionsopgaver, som med ét slag skabte ham et navn. Bogen udkom i mange oplag og blev oversat til engelsk, tysk, hollandsk, fransk, italiensk, spansk, polsk og russisk. Den havde indflydelse på geometri-undervisningen langt op i dette århundrede - den seneste danske udgave kom i 1959, den seneste engelske udgave i 1960, og fornylig, i 1990, udsendtes den påny i Frankrig i serien Les Grand Classiques de Gauthier Villars. Den er uden tvivl det mest udbredte matematiske værk af nogen dansk forfatter.
Petersen var selv glad for Metoder og Theorier - i et brev til Sylvester kalder han den "my darling". Petersens eget eksemplar af 1866 udgaven (med hans håndskrevne kommentarer) blev i begyndelsen af 1930'erne, sammen med to andre af Petersens skolebøger, foræret til en 14-årig dreng i Odense af Valdemar Petersen. Drengen, Poul H. Rasmussen, er i dag pensioneret ingeniør i Sverige, og han har passet godt på denne skat. Så ved dette tilfælde er Petersens "darling" og de to andre bøger (som de eneste af Petersens private bøger) blevet bevaret for eftertiden.
Nogle var mindre glade for Metoder og Theorier, bl.a. Henrik Pontoppidan, som fortæller, at han ikke kendte til den forhenværende "Krambodssvend" Petersens "udskregne Mirakel-mageri" da han gik til optagelses-prøve på den Polytekniske Læreanstalt i 1874. Julius Petersen tilgav det aldrig og omtalte mig bestandig som "Den Fyr, der var saa fræk at gaa op til Adgangsprøven uden at kende mine Metoder og Teorier".

En fin akademisk karriere lige efter bogen


Temaet i Metoder og Teorier udviklede Petersen i 1871 til sin doktor afhandling - hovedsætningen heri er, at hvis skæringspunkterne mellem rette linier og en givet kurve kan konstrueres med passer og lineal, så er kurven nødvendigvis et keglesnit. Petersen blev herefter i 1871 docent ved Den Polytekniske Læreanstalt, i 1879 medlem af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, og fra 1887 til 1909 professor ved Københavns Universitet. I 1887-1900 var han medlem af undervisningsinspektionen for de Lærde Skoler. I 1891 blev han Ridder af Dannebrog.

Disciplinære problemer


Helt ukompliceret forløb Petersens liv dog næppe, specielt starten må have været problemfyldt. For at ernære sig og sin familie måtte Petersen i årene indtil 1871 give skoleundervisning 6-7 timer om dagen seks dage om ugen. Et indblik giver Axel Henriques i sin selvbiografi Svundne Dage (1929) om sin skoletid på Bohrs skole Det von Westenske Institut i 1860'erne: Men med Disciplinen var det forøvrigt lige saa galt hos ham. Denne geniale Mand sled sig op ved at give Undervisning for at ernære Kone og Børn, han læste samtidig selv til Studentereksamen, tog senere Magister- og Doctorgraden uden at have andre Indtægter end den elendige Skoletimeløn. Han fik næppe den Nattesøvn, han skulde have, og derfor faldt han lidt hen i Timerne; muligvis sad han ogsaa og grublede over Problemer, der gik højt over vor Horizont.
En anden elev, lægen Daniel Jacobsen, skrev : Han interesserede sig kun for de Elever, som i Forvejen forstod det Hele. Hans hurtige Hjærne kunde ikke beskæftige sig med Fæhoveder. Men morsom var han, fuld af Vittigheder og Historier, og dem sparede han aldrig paa, saa maatte vi selv om Matematikken, hvis vi ikke strax forstod ham.

Petersen og det moderne gennembrud


Begyndelsen af 1870'erne var en periode med mange brydninger. I 1871 var en dansk afdeling af Internationalen blevet etableret under Pios ledelse. I maj 1872 blev en arbejder-demonstration på Københavns Fælled voldeligt nedkæmpet; da sad Pio og hans nærmeste medarbejdere allerede arresteret. Mere opsigt og opstandelse, ja nærmest angst og skræk, vakte imidlertid Georg Brandes - ung åndsaristokratisk provokatør, og så endda jøde! Hans forelæsninger i efteråret 1871 om hovedstrømninger i det 19. århundredes litteratur fik det professorat, han havde håbet på, til at forsvinde ud i den blå luft. Det etablerede borgerskab blev grebet af panik, og Brandes blev betragtet som værre end den onde selv. I foråret 1872, da angrebene på Brandes var heftigst, dannedes en støtteforening, hvis formål var at virke for anerkendelse af den frie forskning som højeste dommer over hvad der er sandt og usandt. I sin autobiografi skriver Brandes: For ikke at give Pressen nogen Oplysning, som den straks vilde misbruge valgte man det intetsigende Navn Literaturselskabet. Til Bestyrere valgtes Georg Brandes, Holger Drachmann, J.P. Jacobsen , en matematisk Professor, som var et ypperligt Hoved, Julius Petersen, og Fabrikant Ludvig Bing. I selskabet skete der ikke meget, men det vakte enorm opsigt - det var satans værk. Alle vidste, at der fandt de forfærdeligste Scener Sted mellem Literaturselskabets mandlige og kvindelige Medlemmer, skriver Henriques.
Om Literaturselskabet vides ikke meget - Brandes' modvilje mod det (p. gr. af den skade, som den megen virak omkring det udsatte medlemmerne for), synes at have medført mangel på interesse også fra litteratur-forskernes side. Selskabets mest ambitiøse publikation var en 400 sider stor bog Statsøkonomiens Grundsætninger, skrevet/bearbejdet fra engelsk af Frederik Bing og Julius Petersen. Bing var matematisk direktør for Livrenteanstalten og Petersens gode ven - J.P. Jacobsen omtaler Bing og Petersen som Brandes-tilhængernes Castor og Pollux. (Frederik Bings bror Herman Bing grundlagde i 1884 sammen med Viggo Hørup og Edvard Brandes Politiken).

Det sociale spørgsmål


Petersen var levende optaget af tidens problemer og debat. I 1871 udsendte han en pjece under sine initialer JP om Løsningen af det sociale Spørgsmål. Stilen er frisk og klar - Petersen ønsker at finde ud af hvorledes en omfordeling af samfundets goder til fordel for arbejderne kan finde sted, og han slutter på matematisk inspireret manér, at det bedst lader sig gøre ved hjælp af en progressiv skat på forbrug - altså forbrugsskat frem for indkomstskat. Staten skal anvende de indkomne midler fra beskatningen til en "her og nu" udbetaling af alderdomsforsørgelse og hjælp under sygdom til de befolkningsgrupper, som har behov for det. Petersen argumenterer således på dette meget tidlige tidspunkt for velfærdsstaten.
Vilhelm Møller, som redigerede Brandes kredsens kampskrift Nyt Dansk Maanedsskrift, kaldte i en anmeldelse Petersens løsning for "socialistisk eller kommunistisk indtil det Yderste" (på linie hermed har Folketingets Bibliotek klassificeret den under "nationaløkonomi - socialisme"). Det er nu lidt svært at se! Petersens helt er den sparsommelige gnier, som kun ønsker at se sin formue vokse mest muligt : Den Gjerriges Eiendom maa dog vel ogsaa kunne bidrage til Produktionen, det vil sige den maa formere Nydelserne. Hvem faar da disse Nydelser? Er det den Gjerrige? Han lever næsten af Vand og Brød, og har ingen anden Nydelse end at skrive nogle store Tal i nogle store Bøger, men det er da en meget uskyldig Nydelse, som ikke koster Samfundet noget. Naar imidlertid den Gjerriges ejendom frembringer Nydelser, og det ikke er ham selv der faar dem, saa maa det vel være os andre. Jeg kan heller ikke see nogen Forskjel paa den Gjerrige og den mand, der var ligesaa rig og skjænkede hele sin Formue til det Offentlige, det skulle da være den, at han bestyrer den bedre og billigere, end det Offentlige vilde gjøre det. "Ja, men han udsuger folk med sine Aagerrenter." Bah! Lad dem saa gaae til Landmandsbanken; de betale vel ikke ham høje Renter, naar de kunne faae Pengene billigere hos andre.
Tidens fremherskende mening var at forsørgelse ved sygdom og alderdom var folks eget problem, som de måtte klare ved opsparing. Herom siger Petersen : Sygekasser og Forsørgelseskasser ere naturligvis meget at anbefale, men det synes os rigtignok at smage noget af Ironi, naar man siger til Arbeideren : Din Stilling er daarlig, Du kan ikke komme ud af det med det, som Du har; nu skal jeg give dig et godt Raad : Du skal blot aarlig lægge saa meget op af det, som du ikke kan komme ud af det med, saa vil du nok engang faa det bedre.
Jørn Henrik Petersen, Odense Universitet, har fremhævet, at Jul. Petersen gennem sin argumentation og sine konklusioner er en tidlig forløber for en 80 år yngre social-politisk tese, Mackenroth-tesen (1952), som spiller en stor rolle i nyere socialvidenskab.

Petersen som økonom


Petersens interesse for økonomi og sociale spørgsmål resulterede i mange artikler og debatindlæg, bl.a. i Nationaløkonomisk Forening, hvor han også var med fra starten. Han forsøgte, sammen med Frederik Bing, af og til noget provokerende, at overbevise datidens danske økonomer om, at matematik er nødvendig for at forstå økonomiske sammenhænge. Det kom de ikke langt med ! Deres økonomiske hovedværk var en artikel i 1873 Om den rationelle Arbejdsløn samt nogle bemærkninger til Økonomiens Metode, hvor matematisk økonomi og marginalismen introduceredes i Danmark. Den blev diskuteret på et møde i Nationaløkonomisk Forening i september 1873 - ifølge referatet sluttede mødet med at Jul. Petersen foreslog sine Modstandere at prøve at undersøge et eller andet bestemt Spørgsmaal, saa skulde han forsøge at vise, at deres Resultat var galt. Økonomerne besvarede denne arrogance med en kold skulder. I et senere nummer af Nationaløkonomisk Tidsskrift affærdiges Bing og Petersen med: Det tør nu siges, at det som Resultat af Diskussionen fremgik, at den foreslaaede ny Methode er uanvendelig.
Men efter mange år i glemmebogen er der også her 100 år efter anerkendelse og ære. Bing og Petersens artikel er oversat til og udkommet på engelsk i 1962, og den amerikanske økonom J.K. Whitaker skrev i 1982 i et amerikansk tidskrift om den, at det er én af de mest fremragende økonomiske artikler overhovedet fra slutningen af forrige århundrede, 80 år forud for sin tid, og fuldt på højde med afhandlinger af datidens største internationale økonomer. Whitaker slutter sin 20 sider lange gennemgang med håbet om at retfærdighed langt om længe må ske fyldest for Bing og Petersen, og han opfordrer til at læse originalen, som har en klassikers friskhed og ildhu.
Også som praktiker på økonomiens område udfoldede Petersen sig, i bestyrelser for bl.a. Arbejderbanken, De Forenede Bygningssnedkerier og forsikrings-selskabet Hafnia. Han var rådgiver fra 1875 til 1878 for en regeringskommision om arbejderforhold, og med i bestyrelsen for den velgørende fond Centralkommiteen, som bl.a. hjalp krigsinvalider og ydede økonomisk hjælp efter naturkatastrofer.

Matematisk Forening


Petersen var med til at etablere et godt fagligt matematisk miljø i København. Han var én af stifterne af Dansk Matematisk Forening i 1873 - hermed skabtes et forum for matematiske foredrag og hyggeligt samvær. Foredragene fandt sted på bl.a. Myginds Restauration. Forholdene var ikke altid lige ideelle - medlemmernes overtøj prydede væggene og der var forstyrrelser, som f.eks. da papirhandlerne festede med megen hurra-råben ved siden af og Petersen afbrød foredraget og truede ind mod dem som sætter Priserne på Papir til mine Lærebøger op. Stemningen var gemytlig, og efter foredragene inviterede foreningen til fællesspisning, oftest en kotelet eller bøf med øl til. Stærkere drikke var for egen regning.
Som et meget oplivende Element virkede Jul. Petersen ved sine undertiden ret barokke Indfald, f.Eks. hans Plan om at bibringe et Projektil en Rotation inden det anbragtes i Kanonløbet, eller hans Paastand om, at et Musikstykke ville lyde lige saa godt, hvis det blev spillet omvendt tilbage til Begyndelsen. Engang paaviste han eksperimentelt, at naar man gav et paa et Bord liggende Æg en Rotation, vilde det rejse sig, hvis det var haardkogt, men blive liggende, hvis det var blødkogt.

Hemmelige koder


I 1875 udsendte Petersen nok en pjece som privat tryk, men denne gang om noget helt andet, kodningsteori, og på fransk ! Det var det første han skrev på udenlandsk. Vi er stødt på tre originale kopier af pjecen: én på Det Kongelige Bibliotek, én i det Schleswig-Holstenske Landsbibliotek i Kiel, og én på Harvard Universitetet i USA. Petersens pionérindsats indenfor kodning gik også i glemmebogen, men er blevet genopdaget af Ole Immanuel Franksen, Danmarks Tekniske Universitet (han har beskrevet den i sin bog Mr. Babbage's Secret fra 1984). Petersen starter i artiklen på bar bund med at overveje hvilke krav man bør stille til en god kode. Han udviser en ikke ringe indsigt. Derefter beskriver han sin nye kode, som opfylder de stillede krav. Det er en såkaldt fraktionerende kode; en type, som ellers først dukker op efter århundredeskiftet i Frankrig.
I sommeren 1875 skrev Petersen i ugebladet Nær og Fjern en serie på otte artikler om kodningsteori. Her behandlede han systematisk alle kendte koder og viste hvordan de kan brydes. Disse artikler er skrevet i Petersens sædvanlige klare og levende stil - det kan vist ikke gøres meget bedre! Artiklerne udgør et fremragende undervisningsmateriale, incl. opgaver. De er nu på vej ud igen til brug i gymnasiets matematikundervisning. Meningen med artiklerne var måske at vise, at Petersens eget system, og et andet nyt system af Kaptajn Sommerfeldt, var alle andre systemer overlegne.

En tilfældighed i Tivoli


Artiklen i 1891 var resultatet af en tilfældighed. I 1889 havde Tysklands senere mest berømte matematiker Hilbert skabt sit første store gennembrud ved at vise eksistensen af en endelig basis for invarianter og dermed løse invariantteoriens mest fundamentale problem. Caley publicerede samme år et simplere bevis end Hilberts, men Petersen observerede, at det nye bevis var forkert. Den anden berømte engelsk matematiker, James Joseph Sylvester, professor i Oxford, var ved at blive gammel (75) og havde problemer med synet. I sommeren 1889 var han på en kur i Sverige og passerede gennem København, hvor han tog kontakt med de to matematik-professorer Petersen og Zeuthen. De diskuterede bl.a. Cayleys artikel. Sylvester skrev i oktober 1889 til Petersen: Jeg finder det særdeles heldigt, at jeg kunne diskutere denne sag med Dem under vort besøg i Tivoli (!) og fik åbnet øjnene for den vidunderlige fælde, som så stort et geni og så erfaren en veteran som Caley har tilladt sig selv at falde i.
Petersen og Sylvester startede dermed en korrespondance og et kapløb. Hilberts bevis var et ikke-konstruktivt eksistensbevis, som ikke gav information om basernes udseende. Det var en konstruktiv udgave, som Petersen og Sylvester nu tog op i et specielt tilfælde ved hjælp af Sylvesters grafer. I løbet af efteråret 1889 blev det til 21 breve fra Sylvester til Petersen (originalerne opbevares på Det Kongelige Bibliotek). Desværre synes Petersens 1889-breve til Sylvester at være gået tabt. En fælles artikel i Kleins Mathematische Annalen blev planlagt, og i januar 1890 var Petersen i Oxford og London hos Sylvester. Resultatet af besøget blev, at de to konkurrenter i al venskabelighed besluttede at publisere hver for sig - Sylvester først. Men i Oxford var Petersen blevet klar over, at Sylvesters resultater var i kaotisk stand - og i foråret 1890 opgav Sylvester. Petersen tabte dermed den stimulans Sylvester havde givet ham, og først i 1891 fik han sine egne resultater klar til Acta Mathematica.

Faktorisering af grafer


Artiklen i Acta drejede sig om faktorisering. Det hele tal 220 kan faktoriseres som 2*2*5*11. Faktorerne 2, 5 og 11 er primtal, dvs. de kan ikke selv faktoriseres. Ethvert tal kan faktoriseres i primtal på én og kun én måde (bortset fra rækkefølgen af faktorer: 220 kan selvfølgelig også skrives som 2*11*5*2).
Men det er ikke kun hele tal man kan faktorisere, også mange andre typer af objekter kan betragtes. Mange spørgsmål af denne art fandt deres afklaring i 1800-tallet. Petersens arbejde drejede sig om en speciel type af polynomier, men i stedet for at behandle sagen på sædvanlig algebraisk måde, så "oversatte" Petersen (som havde ideen fra Sylvester) de relevante spørgsmål til spørgsmål om "faktorisering" af figurer bestående af punkter med linier imellem, kaldet grafer. På denne form blev spørgsmålene om ikke simple, så dog lettere at overskue og løse. Disse grafer havde været benyttet før (bl.a. af Euler ved løsningen af Königsberg bro problemet i 1736), men det var Petersen, som skabte en egentlig teori for dem, så det er fuldt berettiget, at hvert nummer af Journal of Graph Theory bærer Petersens graf på forsiden.

Grafteoriens udvikling efter Petersen


Grafteorien blev rendyrket af ungareren Dénes König (som begik selvmord under jødeforfølgelserne i Budapest under krigen). Han skrev i 1936 på tysk den første bog om emnet. En fremragende bog, som efter krigen blev genoptrykt i USA og igen i 1986 i Tyskland, og som i 1990 er kommet i en ny engelsk udgave. König satte Petersens arbejde ind i den rette ramme og grundlagde hans nye berømmelse.
Grafer kan benyttes i mange sammenhænge: de kan repræsentere byer og veje mellem dem, personer og relationer mellem dem, molekyler med atomer og bånd mellem dem, elektriske netværk, computer netværk, organisationsstruktur, struktur i et computerprogram, osv. osv. Så grafer er nyttige redskaber, selv om Petersen grundlagde teorien for dem uden tanke for andet end anvendelser indenfor ren matematik!
Grafer er endelige strukturer, og grafteorien er derfor en del af området endelig matematik. Dette område har af og til været betragtet som trivielt eller uinteressant. Skal man for eksempel lægge et skema for afviklingen af de enkelte dele af et omfattende projekt, så er det en stor, men endelig opgave. Det matematiske problem at finde det bedst mulige skema har derfor en simpel løsning: gennemse alle muligheder! Teoretisk er det simpelt, men i praksis umuligt (at gennemse f.eks. alle mulige rækkefølger af 20 bøger på en hylde, dvs. 20*19*18*17* ... *4*3*2 muligheder, med én million muligheder pr. sekund, tager over 77 tusinde år!). Ved hjælp af teori for endelige systemer kan man af og til løse selv meget store endelige problemer elegant og effektivt, også i praksis. Da samtidig datalogi i princippet drejer sig om endelige strukturer, ja så fik den endelige matematik (og grafteorien som en del heraf) mere luft under vingerne.
Lige præcis det problem - faktorisering af grafer - som Petersen introducerede og behandlede i sin Acta artikel, blev matematisk set og algoritmisk set fuldstændig løst af henholdsvis W.T. Tutte i slutning af 1940'erne og af Jack Edmonds i 1965 (begge i Canada). Edmonds' artikel introducerede begrebet "polynomiel algoritme", som nu er af fundamental betydning i algoritme-teori. Der kan således trækkes en lige linie fra Petersen, over König, Tutte og Edmonds, til moderne kompleksitetsteori i datalogi.
En voldsom udvikling af den endelige matematik, også kaldet diskret matematik, har fundet sted internationalt siden 1960'erne, med kraftcentre i bl.a. Ungarn og Nordamerika. I USA gav præsident Reagan i sin State of the Union tale i 1987 støtte til oprettelse af såkaldte Science and Technology Centers for at stimulere den amerikanske økonomi ved forbedret kontakt fra teori til praksis. En af de 11 store bevillinger, som blev uddelt, gik til et Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science.

Matematik, tobak og vin


De internationale kontakter spillede allerede i Petersens tid, som vi har set, en helt afgørende rolle. Foruden i England og Tyskland, havde Petersen gode kontakter i det franske matematiske miljø. I 1902, efter at hans kone var død, rejste han sågar til Algier. Det fremgår dog af breve til Petersen fra Gaston Tarry, en fransk embedsmand i Algier med matematik-interesse, at matematikken her var sekundær. Én grund afsløres måske i Det Kongelige Biblioteks arkiver: et takkebrev for en stor ordre på tobak ! Der er også korrespondance med de franske matematikere om kvaliteten (dårlig!) af den vin, Petersen hjembragte.
Hovedformålet med besøget i Algier var dog måske (men dette er ikke eftervist) at ledsage eller besøge Kaptajn Sommerfeldt, som var taget til Algier for at pleje en alvorlig sygdom.

Undervisningsinspektør Petersen


Om Petersens virke som undervisningsinspektør skrev Mollerup: Som sådan vandt han sig mange Venner og vel også enkelte Fjender. Der er ingen Tvivl om, at han også i denne Egenskab har indlagt sig Fortjeneste af den danske Matematikundervisning, ligesom han har krydret Rektorernes veldækkede Borde med de muntreste Vittigheder.
Om samme emne skrev Axel Henriques i 1929: Engang fortalte han mig, at han nu ogsaa var kommet ind i Skoletilsynet, tror jeg det hedder, rejste rundt i Landet, traadte uanmeldt ind i en Klasse og saa og hørte, hvorledes Undervisningen var. Saa kunde jeg ikke dy mig for at sige : "Hvilken Guds Lykke, at De ikke kunde komme saaledes ind og overraske Dem selv, da De underviste i Bohrs Skole! Først blev han lidt betuttet, men da der stod noget god Vin i nærheden, greb jeg et Glas og sagde Skaal, saa søgte vi begge at kvæle vor Latter i Vinen, men nej, den brasede ud, da Vinen var skyllet ned, og vi vedblev at være Venner til hans Død.
Inspektoratet bestod af kun tre personer, foruden Petersen af de to humanistiske professorer Gertz (bagersøn fra Svendborg, som en gruppe borgere i hans barndom havde skillinget sammen til og sendt på Odense Katedralskole) og Paludan (professor i det professorat som i sin tid var blevet formént Georg Brandes). Paludan var konservativ, og Gertz mere liberal, støttet af Petersen. Bl.a. gik Gertz og Petersen begge ind for at afskaffe græsk som obligatorisk fag.
Petersen havde i sin inspektørtid flere sammenstød: Med matematiklærere, som ønskede at benytte egne bøger i undervisningen, men som ikke kunne få inspektionens anbefaling og dermed ministeriets tilladelse hertil. Med fysikerne, som fandt, at han ødelagde fysik undervisningen ved en alt for stærk vægt på det matematisk deduktive og ved advarsler mod "unyttige Experimenter". Og endelig med Ministeren.
I 1897 var en opgave til studentereksamen formuleret således:

I en Trekant ABC er Vinkel A=123o 45' 18" , Højden fra A er 56,789 og Vinkel A's Halveringslinie er 72,453. Beregn Trekantens Sider og Vinkler.

To dage efter skrev Politiken (16.6.1897) at opgaven var umulig: Ved udregning viste det sig, at i en saadan Trekant som den forelagte vilde den ene vinkel blive -10o stor; det vil sige den eksisterer ikke. Den eneste tænkelige Forklaring af Fænomenet er den, at vedkommende Matematiker, der har stillet opgaven, ikke har gjort sig ulejlighed med selv at regne Opgaven ud. Det gør han sikkert næste Aar.
Opgaven skabte en skandale, og Ministeren dekreterede til Petersens fortrydelse, at den pågældende opgave skulle behandles specielt. Petersen forsvarede sig heftigt, bl.a. i Politiken (men han var på tynd is!) : Sagen er imidlertid den, at jeg finder at Opgaven er en meget god lille Opgave, fordi den giver Eleverne anledning til at vise deres større eller mindre Modenhed ved Fortolkning en af den negative Løsnings betydning. Man maa nemlig erindre, at Ordet umulig i Matematiken har en anden betydning end den sædvanlige. Eleverne har allerede i første Klasse lært, at en negativ Løsning viser hen til en ændring af Opgavens Form. Hvis A rejser efter B, og jeg, idet visse Ting opgives, spørger, hvor mange Dage det varer før A naar B, og svaret bliver -5 dage, saa ved Eleven, at det ikke er nok naar han svarer, at A ikke indhenter B; men at han skal svare at Spørgsmaalet skal stilles saaledes: Hvor mange dage er det siden,at A og B befandt sig paa samme Sted ø og at svaret er 5 Dage. Paa lignende Maade forholder det sig med den omtalte Opgave; den negative Løsning viser, at man ved A maa forstaa den udvendige Vinkel for at faa en positiv Løsning.
I 1897 beholdt Petersen skindet på næsen, men i 1900 sluttede hans virke som undervisningsinspektør brat. Han blev afskediget på gråt papir. I efterladte notater på Det Kongelige Bibliotek kalder Petersen afskedigelsen et æselspark, og han skriver, at grunden var undervisningsministerens søns dårlige matematik og fysik karakterer! Til efterfølgeren, fysik-professoren Christiansen, skriver Petersen, at Christiansen vil blive fordømt af dem, han nu skal samarbejde med, mere end ministeren, fra hvem man kan vente alting og som vil blive undskyldt på grund af manglende intelligens!
Og der var ekstra-spark til den afskedigede. I Budstikken til Selskabet for Germansk Filologi skrev ungdomsoprøreren Ernst Kaper, at der findes ikke et menneske ansat ved en skole, som ikke glæder sig over, at Petersen efter saa mange Fadaiser og sin for ethvert Stænk af Humaniora blottede Optræden fjernes fra sin Post. Hvis vi nu blot ved denne Lejlighed overhovedet kunne blive fri for Universitetsprofessorerne og faa Skolemænd i stedet ! Men Prof. Christiansen skal i hvert Fald være sikker som Petersens Afløser. Det er næppe pædagogisk indsigt, der ses på.
En frigørelse af de lærde skoler fra universitetet (og afskaffelsen af græsk) kom med Loven om Højere Almenskoler i 1903 (mellemskolens indførelse), en reform med Gertz som hovedmand.

Moralen


Som vi har set satte Julius Petersen sig mange blivende spor. Men at han her, godt 80 år efter sin død, er blevet mere kendt end nogensinde før, ville nok have overrasket både ham selv og hans samtid!
Hvad kan vi lære af historien om ham?

At videnskab kan udvikle sig uforudsigeligt og ved tilfældigheder!
At unyttig grundforskning kan vise sig af fundamental betydning for helt nye områder og anvendelser!
At internationale kontakter er af den største betydning!
At omverdenens uforstand ikke skal mødes med bitterhed og nag, men med virkelyst og livsglæde!

Selv da han i 1908 blev ramt af et slagtilfælde forblev Petersen optimist. I et brev fra sommeren 1908 til Mittag-Leffler hedder det: Jeg har det i alle Henseender meget godt, kun at jeg ikke kan gaa og taler daarligt; jeg haaber at komme saa vidt i Sommer, at jeg kan genoptage mine Forelæsninger til Efteraaret. Typisk er også hans udtalelse om, at naar man Livet igennem har faaet Penge og Ære for at more sig, hvad Mere kan man da forlange!

Petersen litteratur


Ovenstående fremstilling er baseret på en 75 sider stor Petersen biografi, som først og fremmest behandler de matematiske arbejder, men som også medtager den sociale, økonomiske og pædagogiske indsats. Denne artikel er det nærmeste man kommer en videnskabelig Julius Petersen biografi.

J. Lützen, G. Sabidussi & B. Toft: Julius Petersen 1839-1910. A Biography, Discrete Mathematics 100 (1992).

Sammme bind indeholder artiklerne:

M. Christiansen, J. Lützen, G. Sabidussi & B. Toft: Julius Petersen Annotated Bibliography.

G. Sabidussi: Correspondence between Sylvester, Petersen, Hilbert and Klein on Invariants and the Factorization of Graphs.

M. Mulder: Julius Petersen's Theory of Graphs.

Last modified August 19, 1997 Bjarne Toft