\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{doublespace}
\usepackage{amsmath,xypic,epsf,mathrsfs,theorem,a4wide}
\newcommand{\bi}{{\bf{i}}}
\newcommand{\bj}{{\bf{j}}}
\newcommand{\bk}{{\bf{k}}}
\newcommand{\bu}{{\bf{u}}}
\newcommand{\bv}{{\bf{v}}}
\newcommand{\bw}{{\bf{w}}}
\newcommand{\bx}{{\bf{x}}}
\newcommand{\by}{{\bf{y}}}
\newcommand{\bz}{{\bf{z}}}
\newcommand{\bnul}{{\bf{0}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

\newenvironment{proof}[1][Bevis:]
{\begin{trivlist}\item[]\textbf{#1} }
{\hbox{}\nobreak\hfill\quad\hbox{$\square$}\end{trivlist}}
\renewcommand{\theenumi}{{\rmfamily\upshape(\roman{enumi})}}
%\renewcommand{\theenumi}{{\rmfamily\upshape(\italic{enumi})}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
%\renewcommand{\theenumii}{{\rmfamily\upshape(\alph{enumii})}}
\renewcommand{\theenumii}{{\rmfamily\upshape(\alph{enumii})}}

\begin{document}
\begin{center}
\huge{MM501/MM503  forel\ae sningsslides}

\vspace{2cm}
\large{uge 50, 2009}

\vspace{2cm}
\large{Produceret af Hans J. Munkholm}
\end{center}


\newpage
\noindent{\bf {\large Separabel 1. ordens differentialligning}}\ \marginpar{s.445-8}\\
En generel 1. ordens differentialligning har formen
\begin{equation} \frac{dy}{dx} = \mbox{ et udtryk, der indeholder $y$ og/eller  $x$, og/eller forskellige konstanter}\label{generel}\end{equation}
\noindent{Eksempler} 
$$\frac{dy}{dx} = 3ax^2y-b^2\sin(x+y), \quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{x+4y^2+A}, \quad \frac{dy}{dx} = 3x + \pi$$
Differentialligningen \eqref{generel} hedder {\em separabel}, hvis udtrykket p\aa{} h\o{}jre side kan skrives som et produkt af en faktor, der kun afh\ae{}nger af $x$ (og m\aa{}ske diverse konstanter), og en anden faktor, der kun afhænger af $y$ (og m\aa{}ske diverse konstanter).\\

\noindent En {\em separabel 1. ordens differentialligning} har alts\aa{} formen
\begin{equation} \frac{dy}{dx} = f(x)\cdot g(y), \label{separabel}\end{equation}hvor funktionen $f(x)$ ikke involverer den variable $y$, og funktionen $g(y)$ ikke involverer den variable $x$.\\

\noindent{\bf {Standard l\o{}sningsfors\o{}g for \eqref{separabel}}}\ \\
Divider med $g(y)$  og gang med $dx$ p\aa{} begge sider. Herved f\aa{}s:
$$\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx $$

 \noindent  Integrerer man nu (ubestemt integral)  p\aa{} 
begge sider, f\aa{}s:
\begin{equation}\int \frac{dy}{g(y)}= \int f(x) dx \label{loes}
\end{equation}
\noindent Dette giver en ligning mellem funktionsv\ae{}rdien $y$ og v\ae{}rdien af den uafh\ae{}ngige variabel $x$. Kan man l\o{}se denne ligning mht $y$,  lander man
 med en eksplicit forskrift for $y$ som funktion af $x$. Men tit kan det ikke lade sig g\o{}re.\\


\noindent{\bf  Jeg tavleregner} for at l\o{}se de to differentialligninger
$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}, \quad \quad \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$$

\noindent{\bf Om tiden vil, regner jeg ogs\aa{}} 
 eksamensopgave 4, marts 2007, som g\aa{}r ud p\aa{} at  l\o{}se problemet $$\frac{dy}{dx} = \frac{1+x \cos(x^2+1)}{\cosh(y)}, \quad y(0) = 1.$$
 

\noindent {\bf Studer selv} (nogle af) 
eksemplerne 1, 2, 4, 5, 6, side 446-8, med blyant i h\aa{}nden og hjernen sl\aa{}et til.
\newpage
\noindent{\bf {\large F\o{}rste ordens line\ae{}re differentialligning}}\ \marginpar{s. 449-51}\\
\noindent{ En s\aa{}dan differentialligning har formen
$$\frac{dy}{dx} +p(x) \cdot y(x) = q(x), $$
hvor $p(x)$ og $q(x)$ er to givne funktioner af $x$.
\\

\noindent L\o{}sningsalgoritme: Man beregner det ubestemte integral
$$\mu(x) = \int p(x) dx$$

\noindent N\aa{}r det er gjort, kan den fuldst\ae{}ndige l\o{}sning skrives p\aa{} formen
$$y(x) = e^{-\mu(x)} \int e^{\mu(x)}q(x) dx + C e^{-\mu(x)},$$
hvor $C$ er en vilk\aa{}rlig konstant.\\

\noindent Der er alts\aa{} to ubestemte integraler, der skal bestemmes for at bruge formlen.\\


\noindent {\bf Jeg tavleforklarer} hvordan formlen kommer til verden (Metode I,  side 449), og hvorfor
jeg skriver leddet $C e^{-\mu(x)}$ med, selv om Adams udelader det (side 449).\\

\noindent{\bf  Jeg tavleregner} to eksamensopgaver (hvis tiden tillader det)\\

\noindent Januar 2009, nr. 4 \\
L\o{}s systemet $$\frac{dy}{dx} + y(x) = x, \quad y(1) = 1$$

\noindent 23. marts 2006, nr. 2(a)\\
L\o{}s systemet  $$\frac{dy}{dx} + \cosh(x) y(x) = \cosh(x), \quad y'(0) = 1$$


\noindent {\bf Studer selv} (mindst to af) 
eksemplerne 7, 8, 9, side 449-51, med blyant i h\aa{}nden og hjernen sl\aa{}et til.
\newpage
\noindent{\large{\bf Et endeligt sandsynlighedsfelt}} \marginpar{s. 433-4}\\
{ er et par $(U,P)$, hvor $U$ er endelig m\ae{}ngde, og $P$ er en funktion, som til hvert $x \in U$ knytter et tal $P(x)$. Det forlanges, at
\begin{center}{\fbox{Hvert  $P(x) \ge 0$ og $\Sigma_{x \in U}P(x) = 1$}}\end{center}
{ \bf Terminologi/interpretation/regneregler}
\\
\noindent --- $U$ kaldes {\em udfaldsrummet} \hfill (engelsk: sample space).\\
--- Hvert $x$ fra $U$ kaldes {\em et udfald} \hfill (engelsk: outcome)\\
--- Tallet $P(x)$ kaldes {\em sandsynligheden for udfaldet $x$} \hfill  (probability of the outcome $x$).\\
--- Hver delm\ae{}ngde $A$ af $U$ kaldes en {\em h\ae{}ndelse.} \hfill (engelsk: event)\\
--- {\em Den umulige h\ae{}ndelse} er den tomme m\ae{}ngde $\emptyset$ \hfill (engelsk: the impossible event)\\
--- {\em Den sikre h\ae{}ndelse} er hele m\ae{}ngden $U$. \hfill (engelsk: the certain event}\\
--- {\em Sandsynligheden for en h\ae{}ndelse $A$} er pr. definition
\begin{center} \fbox{{ $P(A) = \Sigma_{x \in A}P(x)$}}\end{center}
--- {\em Simple konsekvenser af denne definition}
\begin{center}\fbox{{ $P(\emptyset) = 0 \le P(A) \le 1 =  P(U)$}}\end{center}
\begin{center}\fbox{{ $ P(A) \le P(B)$, hvis $A \subseteq B$}}\end{center}
\begin{center}\fbox{{ $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$}}\end{center}
\begin{center}\fbox{{ $ P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, hvis $A \cap B = \emptyset$}}\end{center}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\includegraphics[width = 8cm]{udfaldsrum.pdf}
\end{center}

\newpage
\noindent {\bf{\large  Diskret stokastisk variabel (s.v.)}}\marginpar{s. 434-5} \\
 En diskret s.v. er en funktion $X: U \to \R$, hvor $(U, P)$ er et endeligt sandsynlighedsfelt.\\
\noindent Hvis $t$ og $s$ er  tal, har man en stribe h\ae{}ndelser knyttet til den s.v. $X$
\begin{center}\fbox{ $(X = t) = \{u \in U  \mid X(u) = t \}$}\end{center}
\begin{center}\fbox{ $(s \le X < t) = \{u \in U  \mid s \le X(u) <  t \}$}\end{center}
\begin{center}\fbox{ $(X > t) = \{u \in U \mid  X(u) > t \}$}\end{center}
\begin{center}\fbox{ Flere kombinationer af uligheder - t\ae{}nk selv }\end{center}
De tilsvarende sandsynligheder (ss) omtales fx som
 \begin{center}\fbox{ $P(X=t)$ er ss for at $X$ antager v\ae{}rdien $t$ }\end{center} 
\begin{center}\fbox{ $P(s \le X < t)$ er ss for at $X$ antager v\ae{}rdier i intervallet $[s,t)$ }\end{center}
\begin{center}\fbox{ $P(X > t)$ er ss for at $X$ antager v\ae{}rdier i intervallet $(t, \infty)$ }\end{center}


\vspace{5mm}
\noindent {\bf {\large Middelv\ae{}rdi, varians og spredning af en diskret s.v. $X$}} \marginpar{s. 435-7}\\
\noindent --- {\em Middelv\ae{}rdien}  (engelsk {\em mean} eller {\em expectation})  har to betegnelser: 
$\mu(X)$ og $E(X)$\\
--- {\em Variansen} (engelsk {\em variance}) hedder $\mbox{Var}(X)$, men ogs\aa{} $\sigma^2(X)$.\\
--- {\em Spredningen} (kaldes ogs\aa{} {\em standardafvigeleen}; engelsk {\em standard deviation}) hedder $\sigma(X)$.\\
\begin{center}\fbox{ 
 $\mu(X) = E(X) = \Sigma_{u \in U}X(u)\cdot P(u)$}\end{center}

\begin{center}\fbox{ Lad $\mu = \mu(X)$ \quad  
 $\mbox{Var}(X) = E((X- \mu)^2)  = E(X^2) - E(X)^2$}
\end{center}
\begin{center}\fbox{ 
 $\sigma(X) = \sqrt{\mbox{Var}(X)}$}\end{center}

\newpage  
\noindent{\large{\bf Et kontinuert sandsynlighedsfelt}}\\
Vi vil ikke formalisere dette begreb, men skride direkte til 


\vspace{5mm}

\noindent {\bf{\large Kontinuert stokastisk variabel (s.v.)}}\marginpar{s. 437-8}

 \noindent En kontinuert  s.v. er en st\o{}rrelse  $X$, som kan antage  v\ae{}rdier i et 
interval $I$ af formen $ [A,B], [A,B), (A,B] \mbox{ eller }  (A, B)$ p\aa{} den reelle akse.\\

\noindent
 Det er 
en betingelse, at der for hvert delinterval $[a,b]$ foreligger information om 
(eller antagelser om) sandsynligheden for at en m\aa{}ling af $X$ giver et tal 
i  delintervallet.\\

\noindent Denne sandsynlighed omtales som
\begin{center}\fbox{ $P(a \le X \le b)$ =  ss for at $X$ antager v\ae{}rdier i intervallet $[a,b]$ }\end{center}
Vi skal kun behandle kontinuerte s.v. som har en
 {\em t\ae{}thedsfunktion\footnote{P\aa{} engelsk {\em density function}. P\aa{} dansk kaldes $f(x)$ undertiden en {\em frekvensfunktion}.} $f(x)$}. Dette betyder at sandsynligheder er givet som integraler  
\begin{center}\fbox{ $P(a \le X \le b) =  \int_a^b f(x) { d}x$}\end{center}
{\large {\bf Krav til en t\ae{}thedsfunktion}}

\begin{center}\fbox{$f(x) \ge 0 \mbox{ for alle } x \in I$}
\end{center}


\begin{center}\fbox{ $P(I) = \int_A^Bf(x){{d}x} =1$}
\end{center}

\vspace{5mm}
\noindent{\bf Jeg tavleregner denne opgave:} Bestem konstanten $C$, n\aa{}r det oplyses, at funktionen $$f(x) = C(4-x^2), \quad 0 \le x \le 2$$
er t\ae{}thedsfunktion for en kontinuert s.v. $X$ med v\ae{}rdier i intervallet $[0,2]$.\\
Bestem dern\ae{}st $P(0<X<1)$.\\

\noindent Facit: $C = \frac{3}{16}, \quad P(0<X<1) = \frac{11}{16}.$
 
\newpage
\noindent {\large {\bf Fordelingsfunktionen $F$ for en s.v. $X$}}\\
I stedet for at specificere t\ae{}thedsfunktionen $f(x)$ for en kontinuert
 s.v. $X$ kan man specificere en passende stamfunktion til $f(x)$. Den kaldes fordelingsfunktionen for $X$ og er givet ved 
\begin{center}\fbox{ $F(t) = P(X < t) = P(X \le t) = \int_A^t f(x) dx  \mbox{ for alle } t \in \R$}
\end{center}

\begin{center}\fbox{ Hvis $t \le A$, er $F(t) = 0$}\end{center}

\begin{center}\fbox{ Hvis $t \ge B$, er $F(t) = 1$}\end{center}

\begin{center}\fbox{ Hvis $A= - \infty$, er $\lim_{t \to - \infty}F(t) = 0$}\end{center}

\begin{center}\fbox{ Hvis $B = \infty$, er $\lim_{t \to \infty}F(t) = 1$}\end{center}

\begin{center}\fbox{$F(t)$ er svagt voksende, dvs.  $F(t) \ge F(s)$ n\aa{}r $t >s $}
\end{center}


\begin{center}\fbox{ $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$}
\end{center}




\vspace{5mm}
\noindent {\bf {\large Middelv\ae{}rdi, varians og spredning af en kontinuert s.v. $X$}} \marginpar{s. 439}\\
\noindent --- {\em Middelv\ae{}rdien}  (engelsk { {\em mean} eller {\em expectation})  har to betegnelser: 
$\mu(X)$ og $E(X)$\\
--- {\em Variansen} (engelsk {\em variance}) hedder $\mbox{Var}(X)$, men ogs\aa{} $\sigma^2(X)$.\\
--- {\em Spredningen} (kaldes ogs\aa{} {\em standardafvigeleen}; engelsk {\em standard deviation}) hedder $\sigma(X)$.\\
\begin{center}\fbox{ 
 $\mu(X) = E(X) = \int_A^B x \cdot f(x) dx$}\end{center}

\begin{center}\fbox{ Lad $\mu = \mu(X)$ \quad  
 $\mbox{Var}(X) = E((X- \mu)^2)  = E(X^2) - E(X)^2$}
\end{center}
\begin{center}\fbox{ 
 $\sigma(X) = \sqrt{\mbox{Var}(X)}$}\end{center}

\vspace{5mm}
\noindent{ \bf Jeg tavleregner denne opgave:} Bestem middelv\ae{}rdi, varians og spredning for den s.v. $X$, som optr\ae{}der i  opgaven p\aa{} foreg\aa{}ende side.

\vspace{5mm}
\noindent
Facit: $\mu(X) = \frac{3}{4}, \quad {\rm Var}(X) = \frac{19}{80}, \quad \sigma(X) = \sqrt{  \frac{19}{80}}$
\newpage
\noindent{\bf{Nogle vigtige eksempler fra Adams' bog}}
\begin{itemize}
\item Eksempel 7, side 439-40, omhendler en s.v. $X$, som er {\bf uniformt fordelt p\aa{} et interval $[a,b]$}
\item Eksempel 5, side 438, og eksempel 8, side 440, omhandler en s.v., som er
{\bf eksponentielt fordelt p\aa{} halvaksen $[0,\infty)$}
\item {\bf Standardnormalfordelingen} er omtalt side 441 - 2. Se ogs\aa{} eksempoel 9, side 443. 
\item {\bf Den generelle normalfordeling} er   omtalt side
442-3. se ogs\aa{} eksempel 10, side 443-4.
\end{itemize}
\end{document}