Disputatsen og dens modtagelse (1898).

Næppe overraskende forekommer Heegaards nu 100-årige disputats ganske vanskelig læsning i detaljen. Det er dog ganske simpelt at forklare, både hvad forfatteren ønsker at gøre, og hvad han faktisk gør. Udgangspunktet er hverken topologi eller geometri, og heller ikke Poincarés dualitetssætning; men derimod komplekse algebraiske funktioner af to komplekse variable.

I sin studietid i København havde Heegaard hørt Julius Petersen forelæse over det tilsvarende en-variabel tilfælde, [Pet], med udgangspunkt i det synspunkt, at en algebraisk funktion f(z) af den ene variable z bedst studeres som en Riemann flade, , der er præsenteret som en n-dobbelt, forgrenet overdækning af Riemanns talkugle, . Her er n graden af den algebraiske ligning, som f opfylder, og enhver værdi er i overdækket af de, højst n, værdier, som f antager i punktet z. I dag vil de fleste vel foretrække at sige, at f i virkeligheden er (vel)defineret på Riemann fladen og har værdier i . Datiden anså f defineret på , men flerværdiet, og Riemann fladens formål var altså at opbevare alle værdierne.

Hvorom alting er, så kan de algebraiske funktioner fra denne synsvinkel studeres ved at appellere til geometriske resultater vedrørende fladerne, og disputatens basale ide er, at noget lignende må kunne lade sig gøre for komplekse, algebraiske funktioner af to komplekse variable. Man skal da erstatte Riemanns talkugle, , med et geometrisk objekt, som kan repræsentere alle par, (x,y), af komplekse tal. I dag har vi let ved at sige ; men noget saadan var ikke formaliseret på Heegaards tid og ville under alle omstændigheder ikke have været konkret nok for ham. Faktisk nævner han i disputatsen muligheden for at benytte

``Rummets 4-dobbelt uendelige Samling af rette Linier, ...f. Eks. vælge to Planer i hvilke man paa sædvanlig Maade fremstillede de komplekse værdier af henholdsvis x og y; den Linie, der forbinder Punktet (x) med Punktet (y), kunde da svare til det paagældende Værdipar (x,y). ...... Det er imidlertid vist næsten umuligt for Anskuelsesevnen at danne sig en tydelig samlet Forestilling om den Samlig af rette Linier i Rummet, som danner `Omgivelserne' af en ret Linie; derimod er det let at danne sig klare Forestillingsbilleder af Omgivelserne af et Punkt i en Flade og af et Punkt i Rummet. Nu kende vi imidlertid ikke nogen 4-dimensional Mangfoldighed, i hvilken et Punkt uden videre er et Element.''

I vor terminologi er det altså topologien af , givet ved omgivelserne (d.v.s. omegnene) af det enkelte punkt, der volder Heegard kvaler, og han fortsætter med at bruge næsten en fjerdedel af disputatsen til at opstille sin egen model. Denne består af punkterne i det ordinære tre dimensionale rum udstyret med et `kotetal'. Altså . I denne geometri undersøger han en række begreber såsom ret linie, plan, plant rum, centralprojektioner, drejninger om en plan, grafen for en kompleks, algebraisk funktion af én variabel o.s.v.

Med en tilfredsstillende geometrisk fortolkning af de to uafhængige komplekse variable til rådighed bliver næste opgave at opstille en model for en vilkårlig forgrenet overdækningsmangfoldighed.

Starten går fint, endda i vilkårlig dimension, n. Ved at prikke hul og skubbe væk reduceres problemer om en n-dimensional mangfoldighed M til et studium af dennes

``Diagram, dannet af et System af Mangfoldigheder af lavere Dimension end den givne - eller rettere: dannet af dette Systems nærmeste Omegn, altså en mangfoldighed, der i den n'te Dimension er uendelig lille. ...... Lykkes det at opstille Normalformer, til hvilke Diagrammerne kunne reduceres, bliver den nødvendige og tilstrækkelige Betingelse for, at to lukkede Mangfoldigheder ere ækvivalente, at Diagrammernes Normalformer ere identiske.''

Som velkendt lykkes det naturligvs ikke for Heegaard at finde de søgte normalformer for diagrammer, når n > 2. Men det forsøg han gør, specielt i dimension 3, grundlægger en betragtningsmåde, som er essentiel den dag i dag under navnet Heegaard dekomposition. Og så kan vi vel ikke forlade denne kortfattede oversigt uden endnu engang at nævne modeksemplet til Poincarès dualitetssætning.

Hvad angår samtidens modtagelse af disputatsen citerer vi fra Heegaards selvbiografiske noter:

``Jeg havde sendt min disputats til Picard og Poincaré. Den sidste spurgte mig om forskellige ting, han ikke havde forstået i den danske tekst. Jeg skrev da et fransk resumé af afhandlingen til ham. Dette førte til, at han skrev en artikel, som kompletterede den oprindelige afhandling og derved blev min doktordisputats kendt i udlandet, skønt den var skrevet på dansk. Hjemme i Danmark blev der snart oparbejdet den opinion, at den var værdiløs og ganske latterlig. En af mine udenlandske venner konstaterede dette ved samtale med en af de ældre matematikere, som samtidig måtte indrømme, at han ikke havde læst den.''

Da det franske matematiske selskab i 1916 udgiver disputatsen i fransk oversættelse, [Hee1916], finder Heegaard at han endelig får æresoprejsning: Med et citat fra Georg Brandes omtaler han det i [Hee1945] som `et dementi fra kendsgerningernes vulgære verden' overfor matematikerklikernes nedsættende omtale.