\input{ugeseddelpreamble}

\begin{document}

\hoved{6}

\f{2/3}
Vi nåede til og med Den Kinesiske Restklassesætning.

\f{9/3}
Vi gennemgår resten af afsnit 2.5 og begynder på afsnittet ``Algebra'' i
noterne.

\f{16/3}
Vi fortsætter med algebra-afsnittet i noterne. 

\e{11}

Begge udgaver:\\
Afsnit 2.5:  23

\bigskip

Juni 98 opgave 3

\bigskip


\begin{enumerate}
\item Lad $G$ være en gruppe. Bevis, at $G$ har netop \'et neutralt element,
og at hvert element i $G$ har netop \'et inverst element.

\item Er $\{1,-1,i,-i\} \subseteq \mathbb{C}$ en gruppe m.h.t.\
multiplikation?

\item Afgør i hvert af de flg.\ tre tilfælde, om $G$ er en gruppe m.h.t.\
operationen $\odot$.

a) $G=\mathbb{Q}-\{0\}$, ~~ $a \odot b = \frac 1 3 ab$

b) $G=\mathbb{Q}$, ~~ $a \odot b = a+b+3$

c) $G=\mathbb{Q}-\{-1\}$, ~~ $a \odot b = a+b+ab$

\item Bevis, at addition og multiplikation modulo $n$ er associative
  operationer.

\item Bevis, at sammensætning af funktioner er associativ.

\item Lad $G$ være en gruppe med operationen $\odot$, og lad $a,b,c \in
G$. Vis, at
\begin{align*}
& a \odot b = a \odot c \\
\down{1.8}{}
& b = c
\end{align*}

\item Operationstabellen for en gruppe $G$ med $n$ elementer $\{x_1, x_2,
\dots , x_n\}$ og operationen $\odot$ er en tabel med $n^2$ pladser, hvor der
på den $i,j$'te plads står $x_i \odot x_j$.

Vis, at hvert element i en endelig gruppe optræder netop \'en gang i hver
række og hver søjle i operationstabellen.

\item Lad $G$ være en gruppe med operationen $\odot$. Vis, at\\
(1) $(a \odot b)^{-1} = b^{-1} \odot a^{-1}$ \\
(2) $(a^{-1})^{-1} = a$

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\textsf{{\large Filmaften}}}
\end{center}

Første filmaften i dette semester bliver et gensyn
med en af de største Hollywoodsucceser i de senere år - \emph{Good Will
Hunting}. I denne film fik verden endelig øjnene op for en matematikers
genvordigheder udtrykt af den glimrende Matt Damon.\\
Gå ikke glip af chancen for at se denne fantastiske film på storskærm
\textbf{onsdag den 17.~marts kl.16.30 i U45}.\\
Mvh Rolf Nielsen \& Matematisk/Datalogisk fagråd.

\bigskip
\bigskip

\begin{center}
\begin{minipage}{7.5cm}
NB!\\
Så er der fest! \\
Sæt kryds ved 8.\ maj --- det er næstsidste chance i dette årtusinde for at
komme til matalogifest\ldots

\centerline{M.v.h.\ Festudvalget.}
\end{minipage}
\end{center}

\end{document}
