Institut for Matematik og Datalogi 15. marts 1999 Odense Universitet LF

DM11 — F99 — Ugeseddel 7

Forelæsningen d. 9/3

Vi afsluttede afsnit 2.5 i bogen. Derefter begyndte vi på afsnittet “Algebra” i noterne. Her nåede vi til midt på s. 7.

Forelæsningen d. 16/3

Vi fortsætter med algebra-afsnittet i noterne.

Forelæsningen d. 23/3

Vi afslutter algebra-afsnittet. Derefter begynder vi på kapitel 4 i bogen.

Opgaver til uge 12

Afleveringopgave: En kinesisk hærfører har været i krig med 800 soldater. Efter et blodigt slag vil han gerne vide, hvor mange soldater, han har tilbage. Han stiller derfor sine soldater op i geledder af 7, 8 og 15 soldater, og får til rest henholdsvis 1, 3 og 10 mand. Hjælp hærføreren med at bestemme, hvor mange soldater han har tilbage.

Juni 98 opgave 4

1. Skriv (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{matrix}) og (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{matrix}) som produkter af disjunkte kredse og som

produkter af transpositioner.

Bestem deres orden.

2. Bevis, at {1, 2, 4} er en undergruppe af ℤ_{7}^{∗} m.h.t. multiplikation.

3. Bevis, at A_{n} (de lige permutationer i S_{n}) er en undergruppe af S_{n}.

4. Lad G være en gruppe, og lad a ∈ G.

Bevis, at

(a) Hvis a har endelig orden n, da gælder

i. a^{k} = e ⇔ n | k ii. a^{i} = a^{j} ⇔ i ≡ j (mod n) iii. n = td ⇒ a^{t} har orden d

(b) Hvis a har uendelig orden, da er elementerne i {a^{k} | k ∈ ℤ} alle forskellige.

5. Lad G være en gruppe, og lad Z(G) = {a ∈ G | ∀b ∈ G : ab = ba}. Bevis, at Z(G) er en undergruppe af G. Gør rede for, at G er abelsk, hvis og kun hvis Z(G) = G.

6. Bevis, at en cyklisk gruppe kan have mere end én frembringer.

7. Hvilke ordener kan undergrupper af ℤ_{35}^{∗} have?

Bemærkning

I noterne defineres ordenen af et element a i en gruppe som ordenen af ⟨a⟩, og det bevises, at ordenen af a er det mindste positive heltal m, så a^{m} = e. Man kan også gøre det omvendt:

Definition: Lad a være et element i en gruppe.

• Hvis der eksisterer et k ∈ ℤ^{+}, så a^{k} = e, da siges a at have endelig orden, og a’s orden |a| er det mindste positive heltal n, så a^{n} = e.

• Hvis der ikke eksisterer et k ∈ ℤ^{+}, så a^{k} = e, da siges a at have uendelig orden.

Sætning: Lad G være en gruppe, og lad a ∈ G. Da gælder

1. Hvis a har endelig orden n, da er ⟨a⟩ = {e = a^{0}, a^{1}, a^{2}, …, a^{n−1}}, og a^{i} ≠ a^{j} for 0 ≤ i < j ≤ n − 1.

2. Hvis a har uendelig orden, da er ⟨a⟩ = {a^{k} | k ∈ ℤ}, og a^{i} ≠ a^{j} for i ≠ j.

Bevis:

1. Følger af opgave 4 punkt (a)ii.

2. Følger af opgave 4 punkt (b).