\input{ugeseddelpreamble}

\begin{document}

\hoved{7}

\f{9/3}
Vi afsluttede afsnit 2.5 i bogen. Derefter begyndte vi på afsnittet
``Algebra'' i noterne. Her nåede vi til midt på s.\ 7.

\f{16/3}
Vi fortsætter med algebra-afsnittet i noterne.

\f{23/3}
Vi afslutter algebra-afsnittet. Derefter begynder vi på kapitel 4 i bogen.


\e{12}

{\bf Afleveringopgave}:
En kinesisk hærfører har været i krig med 800 soldater. Efter et blodigt slag
vil han gerne vide, hvor mange soldater, han har tilbage. Han stiller derfor
sine soldater op i geledder af 7, 8 og 15 soldater, og får til rest
henholdsvis 1, 3 og 10 mand.\\
Hjælp hærføreren med at bestemme, hvor mange soldater han har tilbage.

\bigskip

Juni 98 opgave 4

\begin{enumerate}
\item Skriv 
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ og
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
  som produkter af disjunkte kredse og som produkter af transpositioner.\\
  Bestem deres orden.
\item Bevis, at $\{1,2,4\}$ er en undergruppe af $\mathbb{Z}_7^*$
  m.h.t.\ multiplikation.
\item Bevis, at $A_n$ (de lige permutationer i $S_n$) er en undergruppe af
  $S_n$.
\item Lad $G$ være en gruppe, og lad $a \in G$. \\
  Bevis, at
  \vspace{-0.2cm}
  \begin{enumerate}
  \item Hvis $a$ har endelig orden $n$, da gælder
    \begin{enumerate}
    \item $a^k = e \; \Leftrightarrow \; n \mid k$
    \item $a^i = a^j \; \Leftrightarrow \;  i \equiv j \pmod n$
    \item $n=td \; \Rightarrow \; a^t$ har orden $d$
    \end{enumerate}
  \item Hvis $a$ har uendelig orden, da er elementerne i $\{a^k \mid k \in 
    \mathbb{Z}\}$ alle forskellige.
  \end{enumerate}
\item Lad $G$ være en gruppe, og lad $Z(G) =
  \{a \in G \mid \forall b \in G: ab = ba \}$. \\
  Bevis, at $Z(G)$ er en undergruppe af $G$.\\
  Gør rede for, at $G$ er abelsk, hvis og kun hvis $Z(G) = G$.
\item Bevis, at en cyklisk gruppe kan have mere end \'en frembringer. 
\item Hvilke ordener kan undergrupper af $\mathbb{Z}_{35}^*$ have?
\end{enumerate}

\overskrift{Bemærkning}
I noterne defineres ordenen af et element $a$ i en gruppe som ordenen
af $\langle a \rangle$, og det bevises, at ordenen af $a$ er det
mindste positive heltal $m$, så $a^m = e$. Man kan også gøre det omvendt:

\bigskip

{\bf Definition}: Lad $a$ være et element i en gruppe.
\vspace{-0.4cm}
\begin{itemize}
\item Hvis der eksisterer et $k \in \mathbb{Z}^+$, så $a^k=e$, da siges $a$ at
  have endelig orden, og \\
  $a$'s orden $|a|$ er det mindste positive heltal $n$, så $a^n = e$.  
\vspace{-0.2cm}
\item Hvis der {\em ikke} eksisterer et $k \in \mathbb{Z}^+$, så $a^k = e$, da
  siges $a$ at have uendelig orden.
\end{itemize} 

\bigskip

{\bf Sætning}:
Lad $G$ være en gruppe, og lad $a \in G$. Da gælder
\vspace{-0.4cm}
\begin{enumerate}
\item Hvis $a$ har endelig orden $n$, da er \\
  $\langle a \rangle =
  \{e=a^0, a^1, a^2, \ldots , a^{n-1}\}$, og $a^i \neq a^j$ for $0 \leq
  i < j \leq n-1$.
  \vspace{-0.2cm}
\item Hvis $a$ har uendelig orden, da er \\
  $\langle a \rangle = \{a^k
  \mid k \in \mathbb{Z}\}$, og $a^i \neq a^j$ for $i \neq j$.
\end{enumerate}

{\bf Bevis}:
\vspace{-0.4cm}
\begin{enumerate}
\item Følger af opgave 4  punkt (a)ii.
\vspace{-0.2cm}
\item Følger af opgave 4  punkt (b).
\end{enumerate}


\end{document}