Institut for Matematik og Datalogi 22. marts 1999 Odense Universitet LF

DM11 — F99 — Ugeseddel 8

Forelæsningen d. 16/3

Vi nåede til og med beviset for Lagranges Sætning.

Forelæsningen d. 23/3

Vi afslutter algebra-noterne. Derefter begynder vi på kapitel 4 i bogen.

Forelæsningen d. 30/3

Vi fortsætter i kapitel 4 til og med afsnit 4.5. Derefter går vi i gang med afsnittet “Probability” i noterne.

Opgaver til uge 14

Afleveringsopgaver:

1. Lad G = \{(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})\}.

Bevis, at G er en undergruppe af S_{3}.

2. Lad operationerne +_{n} og ·_{n} være defineret ved a +_{n} b = a + b mod n, og a ·_{n} b = a · b mod n.

Bevis, at ℤ_{n} er et legeme m.h.t. +_{n} og ·_{n}, hvis og kun hvis n er et primtal.

Eksaminatorieopgaver:

Juni 96 opg. 5 Hint til spørgsmål c) og d): Brug opgave 4(a)ii fra ugeseddel 7 samt den sætning, der er givet på samme ugeseddel.

1. Lad p være et primtal. Bevis, at enhver gruppe af orden p er cyklisk.

2. Gør rede for, at S ikke er en ring m.h.t. sædvanlig addition og multiplikation. Hvilket punkt i definitionen af en ring er ikke opfyldt?

a) S = {k ∈ ℤ | k er ulige ∨ k = 0}

b) S = ℕ (D.v.s. S = {0, 1, 2, … })

3. udgave: Afsnit 4.1: 12, 18aefgh, 22, 33

4. udgave: Afsnit 4.1: 12, 20aefgh, 24, 37

Rettelse

Opgave 4 på ugeseddel 7 burde være formuleret sådan:

Lad G være en gruppe, og lad a ∈ G. Bevis ud fra nedenstående definition af a’s orden, at

1. Hvis a har endelig orden n, da gælder

(a) a^{k} = e ⇔ n | k

(b) a^{i} = a^{j} ⇔ i ≡ j (mod n)

(c) n = td ⇒ a^{t} har orden d

2. Hvis a har uendelig orden, da er elementerne a^{k}, hvor k ∈ ℤ, alle forskellige.

Tidligere eksamensopgaver

Boghandelen sælger nu hæfter med tidligere eksamenssæt. Hæfterne koster 25 kr. stykket.