\input{ugeseddelpreamble}

\begin{document}

\hoved{8}

\f{16/3}
Vi nåede til og med beviset for Lagranges Sætning.

\f{23/3}
Vi afslutter algebra-noterne. Derefter begynder vi på kapitel 4 i bogen.

\f{30/3}
Vi fortsætter i kapitel 4 til og med afsnit 4.5. Derefter går vi i gang med
afsnittet ``Probability'' i noterne.

\e{14}

{\bf Afleveringsopgaver}: 
\begin{enumerate}
\item Lad $G=$
{\Huge \{} \hspace{-2.5ex}
\makebox{\raisebox{0.5ex}{
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, 
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$
}}
\hspace{-2.5ex} {\Huge\}}. \vspace{0.1cm}\\
Bevis, at $G$ er en undergruppe af $S_3$.

\item Lad operationerne $+_n$ og $\cdot_n$ være defineret ved \\
\hspace*{0.5cm} $a +_n b = a+b \text{ mod } n$, og \\
\hspace*{0.5cm} $a \cdot_n b = a\cdot b \text{ mod } n$.\\
Bevis, at $\mathbb{Z}_n$ er et legeme m.h.t.\ $+_n$ og $\cdot_n$, hvis og kun
hvis $n$ er et primtal.

%\item Lad $S=\{3k \mid k \in \mathbb{Z} \}$. \\
%Bevis, at $S$ er en ring m.h.t.\ sædvanlig addition og multiplikation.
\end{enumerate}


{\bf Eksaminatorieopgaver}:

Juni 96 opg.\ 5\\ 
\hspace*{0.5cm} Hint til spørgsmål c) og d): \\ 
\hspace*{0.5cm} Brug opgave 4(a)ii fra ugeseddel 7 samt den sætning, der er givet på samme
ugeseddel.

\begin{enumerate}
%\item Lad $G$ være en gruppe. Bevis, at hvis alle elementer i $G$
%  bortset fra det neutrale element har orden 2, da er $G$ abelsk.
\item Lad $p$ være et primtal. Bevis, at enhver gruppe af orden $p$ er
cyklisk.
\item Gør rede for, at $S$ ikke er en ring m.h.t.\ sædvanlig addition og   multiplikation.\\
  Hvilket punkt i definitionen af en ring er ikke opfyldt?\\
  a) $S = \{k \in \mathbb{Z} \mid k \text{ er ulige } \vee \, k=0\}$\\
  b) $S=\mathbb{N}$ (D.v.s.\ $S=\{0,1,2, \ldots \}$)
\end{enumerate}

3.\ udgave:\\
Afsnit 4.1: 12, 18aefgh, 22, 33

4.\ udgave:\\
Afsnit 4.1: 12, 20aefgh, 24, 37


\overskrift{Rettelse}
Opgave 4 på ugeseddel 7 burde være formuleret sådan:

Lad $G$ være en gruppe, og lad $a \in G$. \\
  Bevis ud fra nedenstående definition af $a$'s orden, at
  \vspace{-0.2cm}
  \begin{enumerate}
  \item Hvis $a$ har endelig orden $n$, da gælder
    \begin{enumerate}
    \item $a^k = e \; \Leftrightarrow \; n \mid k$
    \item $a^i = a^j \; \Leftrightarrow \;  i \equiv j \pmod n$
    \item $n=td \; \Rightarrow \; a^t$ har orden $d$
    \end{enumerate}
  \item Hvis $a$ har uendelig orden, da er elementerne $a^k$, hvor $k \in 
    \mathbb{Z}$, alle forskellige.
  \end{enumerate}


\overskrift{Tidligere eksamensopgaver}
Boghandelen sælger nu hæfter med tidligere eksamenssæt. Hæfterne koster 25 kr.\
stykket.


\end{document}