DM547 - Diskret Matematik
DM549 - Diskrete Metoder til Datalogi
MM537 - Introduktion til Matematiske Metoder
MM540 - Matematiske Metoder for Økonomi (1. del)

Efterår 2019
Lene Monrad Favrholdt

Opgaver

Type Kursus Opgaver
Uge 37
E Alle
  • Afsnit 1.1: Opgave 1, 5, 13, 31, 33
  • Afsnit 1.2: Opgave 37, 39, 41
  • Afsnit 1.3: Opgave 6, 7, 19
E Alle
  • Angiv for hvert af de følgende par af udsagn, om

    (a) \(\Rightarrow\) (b), \(\,\) (b) \(\Rightarrow\) (a), \(\,\) (a) \(\Leftrightarrow\) (b) \(\,\) eller \(\,\) ingen af delene.

     (a) \(p \vee q\) (b) \(p \wedge q\)
     (a) \(\neg p \vee q\) (b) \(p \Rightarrow q\)
     (a) \(\neg (p \wedge q)\) (b) \(p \vee q\)
     (a) \((p \vee q) \wedge (p \vee r) \;\;\; \) (b) \(p \vee (q \wedge r)\)
     (a) \(\neg p \Rightarrow q\) (b) \(\neg q \Rightarrow p\)

  • Afsnit 1.4: Opgave 5, 10, 11, 15, 17, 54, 62
  • Hvis der er tid:
    Afsnit 1.4: Opgave 47, 53, 55
Uge 38
E Alle
  • Afsnit 1.5: Opgave 9 a-d, 19, 27 a-f og i, 30 a-c, 38, 39
  • Afsnit 1.7: Opgave 1, 5
E Alle
  • Afsnit 1.7: Opgave 18, 29, 36, 41, 43
  • Hvis der er tid:
    Afsnit 1.7: Opgave 42
  • Afsnit 1.8: Opgave 11, 32
  • Lad \(n \in \mathbb{N}\), og lad \(P(n)\) være udsagnet \[\sum_{i=0}^n 3^i = \frac12\left(3^{n+1}-1\right)\] Denne opgave går ud på at bevise, at \(P(n)\) er sand for alle \(n \in \mathbb{N}\), ved hjælp af induktion.
    1. Hvad er udsagnet \(P(0)\)?
    2. Bevis \(P(0)\), d.v.s. udfør basisskridtet.
    3. Opskriv induktionsantagelsen.
    4. Hvad skal der bevises i induktionsskridtet?
    5. Udfør induktionsskridtet. Angiv, hvor du bruger induktionsantagelsen.
    6. Forklar, hvorfor disse skridt udgør et bevis for, at \(P(n)\) er sand for alle \(n \in \mathbb{N}\).
S DM549
MM537
MM540		 Lav de af følgende øvelser, som I finder mest relevante:
  • Hvis I har brug for at genopfriske regneregler, kan I bruge SOWISO (som beskrevet under Litteratur).
    Tag et kig på "Calculating with exponents and roots", "Expanding brackets", "Factorization", "Notable Products" og "Adding and subtracting fractions" (d.v.s. de første fem afsnit), og lav de øvelser, I har brug for.
  • Hjælp hinanden med at løse induktions-opgaven til øvelsestimerne i denne uge.
    Hvis der er tid, kan I gøre det samme med nogle af opgaverne i afsnit 5.1.
  • Løs nedenstående tidligere eksamensopgaver. Der ligger løsningsforslag til disse opgaver på kursus-hjemmesiden, men kig ikke på løsningsforslagene før til allersidst.
    1. Fordel opgaverne imellem jer.
      Når I hver især har skrevet en besvarelse til jeres opgave, bytter I med sidemanden.
    2. Læs den opgave, du har fået, grundigt, og giv konstruktive kommentarer.
      Overvej f.eks. følgende:
      Er løsningen korrekt?
      Argumenteres der tilstrækkeligt for alle skridt i løsningen?
      Har du nemt ved at forstå besvarelsen?
      Er der for få eller for mange detaljer?
      Hvad kunne evt. forbedres?
    3. Sammenlign jeres løsninger med løsningsforslaget på kursus-hjemmesiden.
Uge 39
E Alle
  • Afsnit 5.1: Opgave 10, 18, 51, 78, 79
  • Generaliser din løsning på opgave 78-79, så den virker for et skakbræt med \(2^n \times 2^n\) felter, for alle \(n \in \mathbb{Z}^+\).
  • Bevis følgende generalisering af den ene af De Morgans Love (nævnt på side 30): \[ \neg (p_1 \vee p_2 \vee \ldots \vee p_n) \: \equiv \: \neg p_1 \wedge \neg p_2 \wedge \ldots \wedge \neg p_n \] Du må gerne bruge, at operatorerne \(\vee\) og \(\wedge\) er associative.
    D.v.s. du må f.eks. gerne bruge følgende generaliseringer af de associative love fra Tabel 1.3.6: \[ p_1 \vee p_2 \vee \ldots \vee p_n \: \equiv \: p_1 \vee (p_2 \vee \ldots \vee p_n) \] \[ p_1 \wedge p_2 \wedge \ldots \wedge p_n \: \equiv \: p_1 \wedge (p_2 \wedge \ldots \wedge p_n) \]
E Alle
Uge 40
E Alle
  • Afsnit 2.2: Opgave 21, 28, 32
  • Afsnit 2.3: Opgave 9, 12, 13
  • Hvilke af funktionerne i opgave 12 er bijektive?
E Alle
  • Afsnit 2.3: Opgave 38, 39, 41, 71
    I opgave 39 er der en trykfejl: Henvisningen til opgave 36 burde være til opgave 38.
  • Afsnit 5.3: Opgave 1, 7
  • Eksamen januar 2009 opgave 4
  • Bevis, at alle heltal \(n \geq 8\) kan skrives som en sum af 3-taller og 5-taller.
    Findes der et heltal \(k\), sådan at alle heltal \(n \geq k\) kan skrives som en sum af 4-taller og 5-taller?
  • Hvad er der galt med følgende "bevis"?
    Påstand: Alle naturlige tal \(n\) er lige.
    "Bevis": Ved stærk induktion over \(n\)
    Basis: 0 er et lige tal.
    Induktionsantagelse: Ethvert naturligt tal \(m < n \) er lige. D.v.s. \( m = 2k \), hvor \( k \in \mathbb{Z} \).
    Induktionsskridt: \[ \begin{align*} n & = (n-2) + 2 \\ & = 2k+2, \;\;\: \text{ hvor } k \in \mathbb{Z} \;\;\; \text{ (ifølge ind.ant.)} \\ & = 2(k+1), \text{ hvor } k+1 \in \mathbb{Z} \end{align*} \]
S DM549
MM537
MM540
  • Hjælp hinanden med at løse følgende opgave:
    Ved forelæsningen d. 17/9 beviste vi følgende formel: \(\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1}-1\).
    I denne opgave skal I finde en formel for summen \[ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right)^i \] I kan gribe det an på følgende måde:
    1. Illustrer de første summer ved at farve brøkdele af et linjestykke af længde 1.
      (For \(n=1\) farves halvdelen af linjestykket, for \(n=2\) farves \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) af linjestykket, o.s.v.)
    2. Observer, at størrelsen, der lægges til, altid er præcis halvdelen af det, der mangler for at dække hele linjestykket.
    3. Formuler observationen som et induktionsbevis.
  • Løs nedenstående tidligere eksamensopgaver. Anvend samme fremgangsmåde som i S-timerne i uge 38.
Uge 41
E Alle
  • Afsnit 5.2: Opgave 10, 25
  • Afsnit 9.1: Opgave 1 a,b, 3 a, 7 a,f, 32, 33, 36 b,d, 40
  • Afsnit 9.3: Opgave 1 b, 9 a,c, 18 b, 31
E Alle
  • Afsnit 9.4: Opgave 1
  • Find den transitive lukning af relationen \(R\) = {(1,1),(2,3),(3,4),(3,5),(5,1)}
  • Eksamen oktober 2010 opgave 5 g)
  • Afsnit 9.5: 1 a-c,e, 2 b,d, 21, 22, 26, 27, 41, 47 a
Hvis der er tid:
  • Afsnit 9.5: Opgave 3 a-c, 15
  • Angiv ækvivalensklassen for (1,2) m.h.t. relationen \( R \) i opgave 15.
Uge 42: Efterårsferie
Uge 43
E DM549
MM537
MM540
  • Afsnit 9.6: Opgave 1 a-d, 5, 7 a, 14, 17, 24*, 26
    *: I opgave 24 kan du nøjes med at se på {a,b,c} i stedet for {a,b,c,d}.
  • Afsnit 4.1: Opgave 1, 2, 3, 4
E DM549
MM537
MM540
  • Afsnit 4.1: Opgave 6, 8, 13 a, e-g, 21, 22, 33, 34, 41
  • Afsnit 4.3: Opgave 1 a,c, 3 a,b, 5
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.3: 12
S DM549
MM537
MM540
  • Hjælp hinanden med at løse opgave 3, 4, 6, 8, 21, 22 og 41 i afsnit 4.1
Uge 44
E DM547
  • Afsnit 9.6: Opgave 1 a,b, 3, 5, 7 a, 14, 17, 24, 26
    I opgave 24 kan du nøjes med at se på {a,b,c} i stedet for {a,b,c,d}.
  • Afsnit 4.1: Opgave 1, 2, 3, 4
E DM547
  • Afsnit 4.1: Opgave 6, 8, 13 a, e-g, 21, 22, 33, 34, 41
  • Afsnit 4.3: Opgave 1 a,c, 3 a,b, 5
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.3: 12
E DM549
MM537
MM540
  • Afsnit 4.3: Opgave 16 a,b, 25 a,b, 26 a,b, 28
  • Afsnit 2.5: Opgave 2, 16, 15
  • Eksamen oktober 2011 opgave 6
Hvis der er tid:
  • Afsnit 2.5: Opgave 27, 30
E DM549
  • Afsnit 4.3: Opgave 33 b, 40 c
  • Afsnit 4.4: Opgave 1, 3, 5 a,b, 9
  • Afsnit 5.3: Opgave 23, 25, 26, 45
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.4: Opgave 7, 8
Uge 45
E MM537
  • Afsnit 5.3: Opgave 23, 25, 26, 45, 46
E DM549 Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.4: Opgave 29, 30
E DM549
  • Afsnit 10.1: Opgave 10 (3-5)
  • Afsnit 10.2: Opgave 1, 2, 5, 7, 11, 18, 19, 62
S DM549
MM537
MM540		 Hjælp hinanden med at løse følgende opgaver
Uge 46
E DM547
  • Afsnit 4.3: Opgave 16 a,b, 25 a,b, 26 a,b, 28
  • Afsnit 2.6: Opgave 1, 2, 3 a,b, 10, 18
    • Transponer matricen A fra opgave 3a og 3b.
  • Eksamen januar 2016 opgave 7
Hvis der er tid:
  • Afsnit 2.6: Opgave 5, 15
  • Kan du bevise, at din formel fra opgave 15 er korrekt?
E DM549
  • Afsnit 2.6: Opgave 1, 2, 3 a,b, 5, 10, 15, 18
    • Transponer matricen A fra opgave 3a og 3b.
    • Kan du bevise, at din formel fra opgave 15 er korrekt?
  • Eksamen januar 2016 opgave 7
E DM549
  • Afsnit 10.2: Opgave 21, 22, 23, 26
  • Afsnit 10.3: Opgave 1, 3, 5, 7, 38, 39, 40, 49
Uge 47
E DM549
  • Afsnit 10.4: Opgave 1, 3, 4, 5, 6, 12, 14
  • Afsnit 11.1: Opgave 1, 3, 9, 14, 15, 16
S DM549
  • Løs eksamenssættet i DM549 fra januar 2017 (spring opgave 13 over).
    Bemærk, at sættet ligger på kursus-hjemmesiden både med og uden angivelse af rigtige svar. Prøv at blive enige om svarene, inden I checker facit.
S MM537
MM540
  • Løs eksamenssættet i MM537 fra januar 2017.
    Bemærk, at sættet ligger på kursus-hjemmesiden både med og uden angivelse af rigtige svar. Prøv at blive enige om svarene, inden I checker facit.
Uge 48
E DM549
  • Afsnit 11.1: Opgave 45, 46
  • Afsnit 2.4: Opgave 1, 9 a,b,c, 18, 29, 31, 33, 35, 36, 39, 45, 46
Hvis der bliver tid:
Uge 49
E DM549
  • Afsnit 9.1 i Adams, Essex: Opgave 1, 2, 5, 6, 14, 15, 29, 35, 36
Hvis der er tid:
Uge 50
E DM549
  • Afsnit 9.1 i Adams, Essex: Opgave 27, 28
  • Afsnit 9.2 i Adams, Essex: Opgave 1, 9, 15, 16, 17, 21
  • Eksamen april 2017 opgave 18
Hvis der er tid:
S DM549
MM537
MM540
  • Løs eksamenssættet fra januar 2019. Det ligger i Blackboard under "- E-test". Diskuter jeres svar.
Uge 51
E DM549
  • Afsnit 9.3 i Adams, Essex: Opgave 1, 10, 11, 17, 18, 19, 25
Hvis der er tid:
  • Afsnit 9.2 i Adams, Essex: Opgave 23